Ранг системы векторов

Суббота, 4 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 7049
Подписаться на комментарии по RSS

п.2. Ранг системы векторов.

Пусть V – векторное пространство над полем K, – произвольная система векторов пространства V.

Определение. Любое непустое подмножество множества  называют подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть дана система векторов . Тогда , ,  – подсистемы данной системы. Сама система  тоже является подсистемой самой себя.

Определение. Подсистему называют максимальной линейно независимой подсистемой данной системы векторов, если она линейно независимая и при добавлении к ней любого вектора данной системы становится линейно зависимой.

Определение. Рангом системы векторов называют число векторов в ее максимальной линейно независимой подсистеме.

Обозначение:  .

Заметим, что если система векторов содержит хотя бы один ненулевой вектор, то ее ранг больше или равен 1.

В дальнейшем предполагаем, что система векторов содержит ненулевой вектор.

Следующая теорема показывает, что ранг системы является ее инвариантом, т.е. не зависит от выбора максимальной линейно независимой подсистемы данной системы векторов.

Теорема. (О ранге системы векторов.) Ранг системы векторов равен размерности линейной оболочки, натянутой на ее векторы, т.е.

.                     (4)

Доказательство. Для удобства записи перенумеруем векторы системы так, чтобы система  была максимальной линейно независимой подсистемой данной системы векторов. Тогда .

Рассмотрим два случая.

1) , т.е. данная система векторов является линейно независимой. Тогда она сама является ее максимальной линейно независимой подсистемой и ее ранг равен m. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы данной системы:

.

Система векторов  по определению линейной оболочки является ее порождающей системой и по нашему предположения является линейно независимой. Следовательно, система  является базисом линейной оболочки L, а потому ее размерность равна m и равенство (4) доказано.

2) . Тогда система векторов  является линейно зависимой для всех значений индекса , откуда следует, что вектор  линейно выражается через предыдущие векторы этой системы, т.е. . Отсюда следует, что

,

п так как обратное включение очевидно, то

,

и , ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Ранг системы векторов является ее инвариантом, т.е. на зависит от выбора ее максимальной линейно независимой подсистемы.

Доказательство. Пусть  произвольная система векторов и ,  – две ее произвольные максимальные линейно независимые подсистемы. Тогда, по теореме,

 и

, откуда

, ч.т.д.

Следствие доказано.

Замечание. Из последней теоремы следует, что базисом линейной оболочки, натянутой на систему векторов является максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Действительно, найденная максимальная линейно независимая подсистема является линейно независимой и число векторов в ней равно размерности линейной оболочки, т.е. она является базисом линейной оболочки.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!