п.3. Разложение определителя и свойство ортогональности.

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

, ;       (1)

или

, .       (2)

Доказательство. В силу равноправия строк и столбцов достаточно доказать теорему для столбцов. Для простоты записи, докажем формулу разложения по элементам первого столбца:

.

Доказательство формулы разложения определителя по элементам произвольного столбца проводится аналогично.

Используя правила действий с матрицами и, в частности, со столбцами мы можем расписать столбец в виде:

.

Обозначим

, , …, .

Тогда

и, используя свойство линейности, получаем:

.

Вычисляем все определители, стоящие в правой части последнего равенства.

.

Заметим, что все члены определителя содержащие элемент из первой строки, но не из первого столбца равны нулю. Действительно, если , то из первого столбца в произведении  должен стоять элемент не из первой строки, т.е. нуль. Таким образом, в сумме остаются члены определителя с первым множителем , .

Далее, очевидно, что  и суммирование в сумме оставшихся членов определителя ведется по всем перестановкам множества (2, …, n), т.е.

.

Далее, в следующем определителе переставим первую и вторую строки. Тогда по только что доказанному, получаем:

. Следующие определители вычисляются аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Формула (1) называется разложением определителя по элементам – й строки, (2) – разложением определителя по элементам – го столбца.

Формулы (1) и (2) можно записать в матричной форме:

; .

Замечание. Разложение определителя но элементам строки (столбца) применяют для вычисления определителей небольшого порядка (третьего или максимум четвертого порядка) или определителей более высокого порядка, но с большим количеством нулевых элементов.

Пример.

.

Комментарии к примеру: сначала мы разложили определитель по элементам первого столбца, затем получившийся определитель 3 – го порядка разложили по элементам 1 – й строки и в конце вычислили определитель 2 – го порядка.

Замечание. Понятно, что при разложении определителя по элементам строки или столбца нужно выбирать строку или с столбец с наибольшим количеством нулей.