Размерность векторного пространства.
Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.
Доказательство. Пусть произвольная линейно независимая система векторов,
- произвольная порождающая система. Допустим, что
.
Мы можем считать, что все векторы порождающей системы ненулевые, т.к. нулевые векторы можно удалить из системы и оставшаяся система векторов, очевидно, остается порождающей.
Т.к. порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор
. Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов:
. Тогда найдется вектор
этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей.
Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор
и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему:
.
Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система
линейно независимая и вектор
не выражается линейно через вектор
. Значит, это может быть только один из векторов
. Удаляя его из системы
, получаем, после перенумерования, систему
, которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через
шагов получим порождающую систему векторов:
, где
, т.к. по нашему предположению
. Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор
, что противоречит условию линейной независимости системы
.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.
Доказательство. Пусть и
– два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов.
Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1, .
Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что
, ч.т.д.
Теорема 2 доказана.
Данная теорема позволяет ввести следующее определение.
Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе.
Обозначение: или
.