Размерность векторных подпространств

Пятница, 3 января 2014 г.
Рубрика: Векторные подпространства
Просмотров: 4053
Подписаться на комментарии по RSS

п.3. Размерность векторных подпространств.

Теорема. (О размерности линейной оболочки.)

Пусть V – векторное пространство над полем K и – произвольная система векторов из V. Тогда,

если система векторов  – линейно независимая, то эта система является базисом линейной оболочки  и .

Доказательство. Из определения линейной оболочки следует, что система  является порождающей системой векторного пространства . По условию теоремы, система  является линейно независимой, следовательно, она является базисом линейной оболочки L, ч.т.д.

Теорема доказана.

Теорема. Любое векторное подпространство L конечномерного векторного пространства V само является конечномерным и , причем, если , то .

Доказательство. Пусть .

1) Если L – нулевое подпространство, то оно по определению полагается конечномерным и его размерность по определению полагается равным нулю.

2) Пусть, теперь, L – ненулевое подпространство и существует ненулевой вектор . Тогда система из одного ненулевого вектора  является линейно независимой.

Допустим, что подпространство L не обладает конечной порождающей системой векторов. Тогда подпространство L не обладает максимальной линейно независимой системой векторов, так как любая максимальная линейно независимая система является порождающей системой (см. доказательство теоремы о четырех равносильных определениях базиса, переход , пункт а) доказательства).

Таким образом, система  является линейно независимой, но не максимальной. Следовательно, существует вектор , такой, что система  является линейно независимой и не максимальной. Продолжая далее, мы приходим к линейно независимой системе из -го вектора из подпространства L. Но  и мы получаем линейно независимую систему векторов векторного пространства V, в которой число векторов больше его размерности, что невозможно. Полученное противоречие доказывает, что любое векторное подпространство L конечномерного векторного пространства V обладает конечной порождающей системой и само является конечномерным.

Далее, любое конечномерное векторное пространство обладает базисом. Пусть  – базис подпространства L, тогда  и . Так как , то система  есть линейно независимая система векторов векторного пространства V, и число векторов в ней не может превышать его размерности, т.е. , ч.т.д.

2) Если  и , то базис  подпространства L является и базисом пространства V, так как система  линейно независимая и . Следовательно, .

Теорема доказана.

Следствие. Любой базис векторного подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.

Доказательство. Любой базис векторного подпространства векторного пространства V является линейно независимой системой векторов векторного пространства V, которую можно дополнить до базиса.

Следствие доказано.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!