Системы столбцов арифметического векторного пространства столбцов

Вторник, 3 ноября 2009 г.
Рубрика: Базис векторного пространства
Просмотров: 5182

Теорема.

1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы.

2) Система столбцов является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один столбец системы линейно не выражается через другие столбцы данной системы.

3) Система столбцов, содержащая нулевой столбец является линейно зависимой.

4) Система столбцов, содержащая два равных столбца является линейно зависимой.

5) Система столбцов, содержащая два пропорциональных столбца является линейно зависимой.

6) Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

7) Любая подсистема линейно независимой системы столбцов является линейно независимой.

Единственное, что, возможно, здесь требуется уточнить это понятие пропорциональных столбцов.

Определение. Два ненулевых столбца  называют пропорциональными, если найдется скаляр , такой, что  или

, , …, .

Пример. Система  является линейно зависимой, так как ее первые два столбца пропорциональны.

Замечание. Мы уже знаем (см. лекцию 21), что определитель равен нулю, если система его столбцов (строк) является линейно зависимой. В дальнейшем будет доказано, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то система его столбцов и система его строк являются линейно зависимыми.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us