п.4. Союзная матрица.

Пусть дана квадратная матрица  – го порядка. Для каждого ее элемента  найдем его алгебраическое дополнение  и составим матрицу

, в которой вместо элемента  стоит его алгебраическое дополнение .

Определение. Матрица  называется присоединенной по отношению к матрице А.

Транспонируем присоединенную матрицу: .

Определение. Матрица  называется союзной или взаимной.

Обозначение. Союзную матрицу часто обозначают А*. Таким образом, .

Следующее утверждение носит вспомогательный характер и мы принимаем его без доказательства.

Лемма. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

.

Теорема. (Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы.)

1. Для того, чтобы квадратная матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю.

2. Обратная матрица может быть найдена по формуле:

.          (8)

Доказательство. а) Пусть А обратимая матрица, т.е. существует обратная к ней . Тогда

.

С одной стороны, в силу леммы,

,

а с другой стороны,

.

Получаем,

,

откуда и следует, что .

В частности, из последнего равенства следует, что

.

б) Пусть .

Из формул (6) и (7) предыдущей теоремы сразу же следует матричное равенство: .

Или в развернутом виде:

, откуда и следует (8).

Теорема доказана.