Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений

Четверг, 23 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 6266
Подписаться на комментарии по RSS

п.6. Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений.

Определение. Пусть – неоднородная система линейных уравнений с матрицей системы А. Система линейных уравнений  называется однородной системой линейных уравнений соответствующей данной неоднородной системе линейных уравнений.

Определение. Произвольное решение неоднородной системы  называют ее частным решением.

Пример. Найти частное решение системы .

Решение. Легко видеть, что

 или  или

– частные решения данной системы.

Ответ: .

Обозначим через  множество всех решений неоднородной системы , т.е. , а через  пространство решений соответствующей однородной системы . Произвольное частное решение неоднородной системы обозначим через X*, так что  и верно равенство: .

В этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. (О структуре множества решений неоднородной системы.)

1) Сумма любого частного решения  неоднородной системы  и любого решения  соответствующей однородной системы  является решением неоднородной системы .

2) Любое решение  неоднородной системы  можно представить в виде суммы некоторого частного решения неоднородной системы  и некоторого решения соответствующей однородной системы .

Другими словами:

1) если  и , то ;

т.е. если  и , то ;

2) если  и , то , т.е. любое решение  неоднородной системы можно представить в виде , где , а .

Доказательство. 1) Пусть  и . Тогда по свойствам сложения матриц

, ч.т.д.

2) Пусть  и . Тогда

, т.е. . Обозначим . Тогда , где , а , ч.т.д.

Теорема доказана.

Введем обозначение: .

Это множество называется суммой подпространства  и вектора (столбца)  и еще оно называется линейным (или векторным) многообразием, параллельным подпространству . (См. ниже п.7.)

Как видно из этого обозначения,

Используя это и предыдущие обозначения, последнюю теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема. (О структуре множества решений неоднородной системы.)

.

Иначе, множество S решений неоднородной системы  равно сумме подпространства решений соответствующей однородной системы и произвольного частного решения X* исходной неоднородной системы.

Следствие. Любое решение неоднородной системы линейных уравнений  может быть записано в виде:

,

где – общее решение соответствующей однородной системы , а  – произвольное частное решение неоднородной системы .

Определение. Решение неоднородной системы линейных уравнений , записанное в виде

,

где  – произвольные постоянные (скаляры из поля ), – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы , называется общим решением неоднородной системы.

Вывод. Решить неоднородную систему линейных уравнений означает найти множество всех ее решений. А, в свою очередь, множество всех ее решений имеет вид:

. Следовательно, в ответе достаточно выписать общее решение: .

Пример. Решить систему: .

Сначала, любым способом находим произвольное ее частное решение, например: , так, что . Общее решение соответствующей однородной системы  мы уже нашли: . Тогда общее решение данной неоднородной системы имеет вид: .

Ответ: , .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!