Сумма и пересечение векторных подпространств
Рубрика: Векторные подпространства
Просмотров: 16450
Подписаться на комментарии по RSS
п.4. Сумма и пересечение векторных подпространств.
Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства. Суммой
и М называют множество
.
Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.
Теорема. Сумма и пересечение векторных подпространств векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.
Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V, – их пересечение,
– их сумма.
1) Пусть – произвольные векторы. Тогда,
и
. В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр,
:
,
,
,
,
откуда следует, что
,
,
т.е. является векторным подпространством.
2) 1) Пусть – произвольные векторы. Тогда,
,
, где
,
. В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр,
:
,
,
,
,
откуда следует, что
,
,
т.е. является векторным подпространством.
Теорема доказана.
Теорема. (О размерности суммы векторных подпространств.)
Размерность суммы векторных подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения:
.
Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V, – их пересечение,
– их сумма. Обозначим:
.
Так как очевидны включения:
,
,
то и
. Нашей задачей является доказательство равенства:
. (2)
Пусть – базис пересечения
. Так как пересечение
, то его базис можно дополнить до базиса пространства L. Пусть
– базис L.
Аналогично, базис пересечения можно дополнить до базиса пространства М. Пусть
– базис М. Докажем, что
(3)
– базис , откуда и будет следовать доказываемое равенство (2).
Сначала докажем, что система векторов (3) является порождающей системой подпространства .
Пусть – произвольный вектор, где
,
. Разложим векторы х и у по базисам векторных подпространств L и М:
,
,
где ,
.
Отсюда,
, т.е. система (3) является порождающей для векторного подпространства
.
Теперь докажем, что система (3) является линейно независимой. Пусть
.
Обозначим
.
Тогда и
, т.е.
, следовательно, вектор х можно разложить по базису пересечения:
,
откуда следует равенство:
или .
Так как система является базисом подпространства М, то она линейно независимая, откуда следует, что
. Отсюда, в свою очередь следует, что
и
.
Система есть базис подпространства L, т.е. линейно независимая система, поэтому,
.
Таким образом, система (3) представляет нулевой вектор только тривиально и, следовательно, является линейно независимой, ч.т.д.
Теорема доказана.
Аналогично определяется и обозначается сумма любого конечного количества векторных подпространств.
Определение. Пусть – подпространства векторного пространства V. Множество
называется суммой векторных подпространств.
Обозначение. .
Как и выше, можно доказать, что сумма подпространств векторного пространства V тоже является векторным подпространством векторного пространства V.
Оставьте комментарий!