п.4. Сумма и пересечение векторных подпространств.

Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства. Суммой и М называют множество

.

Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.

Теорема. Сумма и пересечение векторных подпространств  векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.

Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V, – их пересечение,  – их сумма.

1) Пусть  – произвольные векторы. Тогда,  и . В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, :

, , , ,

откуда следует, что

, ,

т.е.  является векторным подпространством.

2) 1) Пусть  – произвольные векторы. Тогда,

, , где , . В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, :

, , , ,

откуда следует, что

,

,

т.е.  является векторным подпространством.

Теорема доказана.

Теорема. (О размерности суммы векторных подпространств.)

Размерность суммы векторных подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения:

.

Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V,  – их пересечение,  – их сумма. Обозначим:

.

Так как очевидны включения:

, ,

то  и . Нашей задачей является доказательство равенства:

.                                  (2)

Пусть  – базис пересечения . Так как пересечение , то его базис можно дополнить до базиса пространства L. Пусть

– базис L.

Аналогично, базис пересечения можно дополнить до базиса пространства М. Пусть

– базис М. Докажем, что

                     (3)

– базис , откуда и будет следовать доказываемое равенство (2).

Сначала докажем, что система векторов (3) является порождающей системой подпространства .

Пусть  – произвольный вектор, где , . Разложим векторы х и у по базисам векторных подпространств L и М:

,

,

где , .

Отсюда,

, т.е. система (3) является порождающей для векторного подпространства .

Теперь докажем, что система (3) является линейно независимой. Пусть

.

Обозначим

.

Тогда  и , т.е. , следовательно, вектор х можно разложить по базису пересечения:

,

откуда следует равенство:

или .

Так как система  является базисом подпространства М, то она линейно независимая, откуда следует, что . Отсюда, в свою очередь следует, что  и

.

Система  есть базис подпространства L, т.е. линейно независимая система, поэтому,

.

Таким образом, система (3) представляет нулевой вектор только тривиально и, следовательно, является линейно независимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Аналогично определяется и обозначается сумма любого конечного количества векторных подпространств.

Определение. Пусть  – подпространства векторного пространства V. Множество

называется суммой векторных подпространств.

Обозначение. .

Как и выше, можно доказать, что сумма подпространств векторного пространства V тоже является векторным подпространством векторного пространства V.