Существование базиса векторного пространства.

Пятница, 6 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Просмотров: 26820

Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.)

Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Доказательство. По условию существует конечная порождающая система векторов данного конечномерного векторного пространства V: .

Мы можем считать, что все векторы этой системы ненулевые, ибо в противном случае, мы можем удалить их из этой системы и оставшаяся система векторов будет конечной порождающей системой.

Заметим сразу же, что если порождающая система векторов является пустой, т.е. не содержит ни одного вектора, то по определению полагают, что данное векторное пространство является нулевым, т.е. . В этом случае по определению полагают, что базисом нулевого векторного пространства является пустой базис и его размерность по определению полагают равной нулю.

Пусть далее, ненулевое векторное пространство и система ненулевых векторов является его конечной порождающей системой.

Если эта система линейно независимая, то все доказано, т.к. линейно независимая и порождающая система векторов векторного пространства является его базисом.

Если же данная система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы линейно выражается через оставшиеся и его можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов, будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Далее рассуждения повторяются.

Если эта система линейно независимая, то она является базисом. Если же нет, то снова найдется вектор в этой системе, который можно удалить, а оставшаяся система будет порождающей.

Повторяя этот процесс, мы не можем остаться с пустой системой векторов, т.к. в самом крайнем случае мы придем к порождающей системе из одного ненулевого вектора, которая является линейно независимой, а, следовательно, базисом. Поэтому, на каком-то шаге мы приходим к линейно независимой и порождающей системе векторов, т.е. к базису, ч.т.д.

Теорема доказана.

Лемма. (О системах векторов в n-мерном векторном пространстве.)

Пусть . Тогда:

1. Любая система из вектора является линейно зависимой.

2. Любая линейно независимая система из векторов является его базисом.

Доказательство. 1). По условию леммы, число векторов в базисе равно и базис является порождающей системой, поэтому число векторов в любой линейно независимой системе не может превосходить , т.е. любая система содержащая вектор является линейно зависимой.

2). Как следует из только что доказанного, любая линейно независимая система из векторов этого векторного пространства является максимальной, а следовательно, базисом.

Лемма доказана.

Теорема (О дополнении до базиса.) Любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть векторное пространство размерности n и некоторая линейно независимая система его векторов. Тогда .

Если , то по предыдущей лемме, эта система является базисом и доказывать нечего.

Если же , тогда данная система является не максимальной линейной независимой системой (иначе она была бы базисом, что невозможно, т.к. ). Следовательно, найдется вектор , такой, что система – линейно независимая.

Если, теперь , то система является базисом.

Если же , все повторяется. Процесс пополнения системы не может продолжаться бесконечно, т.к. на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов пространства , а по предыдущей лемме число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства. Следовательно, на каком-то шаге мы придем к базису данного пространства.