Теорема. (Правило знаков.)

,                      (2)

где  и суммирование происходит по всем членам определителя.

Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя  нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк образовали начальную перестановку . Этого можно добиться транспозицией сомножителей. Допустим, что нам потребовалось для этого t транспозиций и мы получили член определителя в виде  и, по определению, его знак равен .

С другой стороны, первоначальные перестановки строк и столбцов претерпели изменения:

, .

Так как этот переход произошел за t транспозиций, то четность перестановки строк не изменится, если t четное число и изменится на противоположное, если t нечетное число. Это можно отобразить формулой:

.

Аналогично и для перестановки столбцов

.

Отсюда следует, что

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Теорема. (Определитель транспонированной матрицы.)

Определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании, т.е.

.                                    (3)

Доказательство. Пусть

                            (4)

– произвольный член определителя матрицы А и

                 (5)

– его знак.

При транспонировании матрицы элемент  переходит на место элемента , т.е. номер строки меняется местом с номером столбца, поэтому произведение (4) после транспонирования остается членом определителя транспонированной матрицы  и он в алгебраической сумме для определителя матрицы  принимает вид

 и его знак, как это следует из формулы (5) остается прежним. Таким образом, при транспонировании матрицы А, каждый член определителя матрицы А переходит в член определителя матрицы , причем с тем же самым знаком, откуда и следует равенство (3).

Теорема доказана.

Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.

Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя.

]]> ]]>