Свойства самосопряженного линейного оператора
Рубрика: Эвклидово пространство
Просмотров: 8570
Подписаться на комментарии по RSS
п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора
1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.
(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).
2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.
(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)
Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).
Пусть - ортонормированный базис,
– ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда
, где
- собственные числа матрицы А.
Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.
Доказательство. Пусть Г, Г
- матрицы скалярного произведения.
Тогда по закону изменения матрицы билинейной формы при изменении базиса :
Г Г
Так как - ортонормированный базис, поэтому
Г Аналогично
- ортонормированный базис, следовательно Г
отсюда получаем, что
Следовательно , поэтому матрица С – ортогональная.
Теорема доказана.
- закон изменения матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- закон изменения квадратичной формы при замене переменных
.
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема. Для любой симметрической матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что
, где
- собственные числа матрицы А, а столбцы матрицы С есть ортонормированный базис пространства столбцов из собственных векторов матрица А.
Доказательство. В пространстве столбцов положим
, где 1 лежит на
-й строке.
- канонический базис пространства столбцов.
- базис из собственных векторов матрицы А. Тогда из равенства
получаем, что
.
Теорема доказана.
Определение. Линейное преобразование
называется ортогональным, если матрица С – ортогональная.
Следствие. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду ортогональным преобразованием ее переменных. Канонические коэффициенты квадратичной формы суть собственные числа матрицы квадратичной формы.
Доказательство.
Следствие доказано.
Из следствия вытекает алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных квадратичной формы:
Пусть дана квадратичная форма.
1) Составляем матрицу квадратичной формы.
2) Находим собственные числа и собственные векторы матрицы(собственные числа и собственные векторы должны быть действительными)
3) Записываем канонический вид квадратичной формы: - собственные числа матрицы.
4) Ортогонализируем и нормируем базис из собственных векторов:
, где
– ортонормированный базис из собственных векторов. Тогда
– матрица ортогонального преобразования переменных квадратичной формы.
Выписываем матрицу ортогонального преобразования.
5) Выписываем ортогональное преобразование переменных квадратичной формы.
Приведение кривых второго порядка к главным осям.
Как нам уже известно, кривые второго порядка имеют следующее уравнение:
Приводим квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием:
Выделяем полный квадрат:
=0
Заменяем, таким образом делая параллельный перенос:=0
Оставьте комментарий!