п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора

1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.

(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).

2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.

(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)

Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).

Пусть - ортонормированный базис,     – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда

, где  - собственные числа матрицы А.                                                                       

Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Доказательство. Пусть Г, Г - матрицы скалярного произведения.

Тогда по закону изменения матрицы билинейной формы при изменении базиса :

Г Г

Так как  - ортонормированный базис, поэтому

Г Аналогично  - ортонормированный базис, следовательно  Готсюда получаем, что

Следовательно , поэтому матрица С – ортогональная.

Теорема доказана.

- закон изменения матрицы линейного оператора при изменении базиса.

 - закон изменения квадратичной формы при замене переменных .

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема. Для любой симметрической матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что

, где  - собственные числа матрицы А, а столбцы матрицы С есть ортонормированный базис пространства столбцов из собственных векторов матрица А.

Доказательство. В пространстве столбцов положим

, где 1 лежит на -й строке.

 - канонический базис пространства столбцов.  - базис из собственных векторов матрицы А. Тогда из равенства

 получаем, что

.

Теорема доказана.

Определение. Линейное преобразование

называется ортогональным, если матрица С – ортогональная.

Следствие. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду ортогональным преобразованием ее переменных. Канонические коэффициенты квадратичной формы суть собственные числа матрицы квадратичной формы.

Доказательство.                                               

Следствие доказано.

Из следствия вытекает алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных квадратичной формы:

Пусть дана квадратичная форма.

1)      Составляем матрицу квадратичной формы.

2)      Находим собственные числа и собственные векторы матрицы(собственные числа и собственные векторы должны быть действительными)

3)      Записываем канонический вид квадратичной формы: - собственные числа матрицы.

4)      Ортогонализируем и нормируем базис из собственных векторов:

, где  – ортонормированный базис из собственных векторов. Тогда  – матрица ортогонального преобразования переменных квадратичной формы.

Выписываем матрицу ортогонального преобразования.

5)      Выписываем ортогональное преобразование переменных квадратичной формы.

Приведение кривых второго порядка к главным осям.

Как нам уже известно, кривые второго порядка имеют следующее уравнение:

Приводим квадратичную форму  к каноническому виду ортогональным преобразованием:

Выделяем полный квадрат:

=0                                                                                 

Заменяем, таким образом делая параллельный перенос:=0