Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.

Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя.

Введем обозначения.

Пусть

– квадратная матрица n-го порядка.

Обозначим через  – k-й столбец матрицы А,

.

Определитель матрицы А будем также обозначать через

.

В такой форме записи определитель можно рассматривать как функцию от n переменных

,

где переменные определены на множестве  – множестве столбцов высоты n.

Определение. Функция от n переменных  называется линейная по k-му аргументу, если выполняются следующие два свойства:

1) для любых значений k-й переменной , взятых из области определения k-й переменной верно равенство

;

2) для любого скаляра  и для любого значения k-й переменной , взятого из области определения k-й переменной верно равенство

.

Определение. Функция от нескольких переменных, которая линейна по каждому своему переменному, называется полилинейной.

Теорема. (Свойство линейности определителя.)

Определитель квадратной матрицы над полем K является полилинейной функцией своих столбцов, т.е. :

1) ;

2) , .

Доказательство. Пусть, для удобства записи,  и

.

Обозначим

, , .

Тогда  и

.

.

Аналогично доказывается второе равенство.

Теорема доказана.