Свойство ортогональности

Воскресенье, 19 июля 2009 г.
Рубрика: Обратная матрица
Просмотров: 7582
Подписаться на комментарии по RSS

Теорема. (свойство ортогональности строк и столбцов определителя.)

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю:

,                     (3)

и

, .                    (4)

Доказательство. В силу равноправия строк и столбцов определителя достаточно доказать (4).

Рассмотрим определитель:

.        (5)

Этот определитель разложен здесь по элементам первого столбца. Равенство (5) верно для любых значений переменных . Подставляя вместо них соответствующие элементы j-го столбца,  в левой части равенства (5) получаем нуль, так как получившийся определитель имеет два равных столбца:

.

Мы доказали (4) для . Аналогично доказывается и общий случай.

Теорема доказана.

Формулы (3) и (4) можно записать в матричной форме:

;                           (3)

,                       (4)

где .

Обе теоремы можно записать в виде одной.

Теорема (Свойство ортогональности определителя).

;                         (6)

.                       (7)

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!