Теорема. (свойство ортогональности строк и столбцов определителя.)

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю:

,                     (3)

и

, .                    (4)

Доказательство. В силу равноправия строк и столбцов определителя достаточно доказать (4).

Рассмотрим определитель:

.        (5)

Этот определитель разложен здесь по элементам первого столбца. Равенство (5) верно для любых значений переменных . Подставляя вместо них соответствующие элементы j-го столбца,  в левой части равенства (5) получаем нуль, так как получившийся определитель имеет два равных столбца:

.

Мы доказали (4) для . Аналогично доказывается и общий случай.

Теорема доказана.

Формулы (3) и (4) можно записать в матричной форме:

;                           (3)

,                       (4)

где .

Обе теоремы можно записать в виде одной.

Теорема (Свойство ортогональности определителя).

;                         (6)

.                       (7)