Теорема Кронекер – Капелли. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 12525
Подписаться на комментарии по RSS
п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.
Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. 1) Необходимость.
Запишем систему в векторной форме:
.
Если система совместна, то существует хотя бы одно ее решение: и верно равенство:
, которое означает, что
, откуда следует, что
.
Так как включение очевидно, то отсюда следует равенство
,
а значит равны их размерности
.
Так как размерность линейной оболочки системы векторов равно рангу этой системы, то
,
откуда по теореме о ранге матрицы
.
2) Достаточность.
Пусть . Тогда по теореме о ранге матрицы равны ранги систем их столбцов:
,
откуда следует равенство размерностей линейных оболочек, натянутых системы их столбцов:
.
Так как , то из равенства их размерностей следует, что линейные оболочки равны:
,
откуда следует, что
,
т.е. столбец В представим в виде линейной комбинации столбцов матрицы А:
,
что, в свою очередь, означает, что набор скаляров
является решением данной системы, т.е. система является совместной, ч.т.д.
Теорема доказана.
Еще записи по теме
- Основные определения систем линейных уравнений
- Необходимые и достаточные условия определенности неоднородной системы линейных уравнений, квадратной системы линейных уравнений
- Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса
- Пространство решений однородной системы линейных уравнений
- Классификация систем линейных уравнений, способы записи системы линейных уравнений
- Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений
Оставьте комментарий!