Теорема Кронекер – Капелли. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.

Вторник, 14 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 7093
Подписаться на комментарии по RSS

п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.

Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство. 1) Необходимость.

Запишем систему в векторной форме:

.

Если система совместна, то существует хотя бы одно ее решение:  и верно равенство: , которое означает, что , откуда следует, что

.

Так как включение  очевидно, то отсюда следует равенство

,

а значит равны их размерности

.

Так как размерность линейной оболочки системы векторов равно рангу этой системы, то

,

откуда по теореме о ранге матрицы

.

2) Достаточность.

Пусть . Тогда по теореме о ранге матрицы равны ранги систем их столбцов:

,

откуда следует равенство размерностей линейных оболочек, натянутых системы их столбцов:

.

Так как , то из равенства их размерностей следует, что линейные оболочки равны:

,

откуда следует, что

,

т.е. столбец В представим в виде линейной комбинации столбцов матрицы А:

,

что, в свою очередь, означает, что набор скаляров

 является решением данной системы, т.е. система является совместной, ч.т.д.

Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!