п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.

Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство. 1) Необходимость.

Запишем систему в векторной форме:

.

Если система совместна, то существует хотя бы одно ее решение:  и верно равенство: , которое означает, что , откуда следует, что

.

Так как включение  очевидно, то отсюда следует равенство

,

а значит равны их размерности

.

Так как размерность линейной оболочки системы векторов равно рангу этой системы, то

,

откуда по теореме о ранге матрицы

.

2) Достаточность.

Пусть . Тогда по теореме о ранге матрицы равны ранги систем их столбцов:

,

откуда следует равенство размерностей линейных оболочек, натянутых системы их столбцов:

.

Так как , то из равенства их размерностей следует, что линейные оболочки равны:

,

откуда следует, что

,

т.е. столбец В представим в виде линейной комбинации столбцов матрицы А:

,

что, в свою очередь, означает, что набор скаляров

 является решением данной системы, т.е. система является совместной, ч.т.д.

Теорема доказана.