Определение. Два столбца определителя называются пропорциональными, если один из них можно получить из другого умножением на ненулевой скаляр:

,

где .

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк.

Определение. Пусть  – столбцы определителя (матрицы). Линейной комбинацией столбцов называется столбец равный

,

где – произвольные скаляры.

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк и понятие линейной комбинации строк.

Теорема. (Свойства определителя.)

1. Определитель, имеющий нулевой столбец (нулевую строку) равен нулю.

2. Определитель меняет знак при любой транспозиции его столбцов (строк).

3. Определитель, имеющий два равных столбца (две равные строки), равен нулю.

4. Определитель, имеющий два пропорциональных столбца (строки), равен нулю.

5. Определитель не меняет своего значения, если к какому-либо его столбцу (строке) прибавить любую линейную комбинацию других его столбцов (строк).

Доказательство. В силу равноправности строк и столбцов любое свойство достаточно доказать или для строк или для столбцов.

1) Пусть определитель имеет нулевой столбец. Каждый член определителя имеет точно один множитель из нулевого столбца и поэтому равен нулю. Следовательно, и определитель равен нулю.

2) Докажем это свойство для строк.

Пусть в определителе

переставили местами i-ю и k-ю строки:

,

где

.

Мы видим, что в начальной перестановке строк

(1, …, i-1, i, i+1, …, k-1, k, k+1, …, n)

произошла транспозиция (i k):

(1, …, i-1, k, i+1, …, k-1, i, k+1, …, n).

Первоначальная перестановка является четной, а после транспозиции (i k) перестановка получается нечетной.

Следовательно,

.

Таким образом, при такой перестановке строк каждый член определителя меняет свой знак на противоположный, откуда и следует первое утверждение теоремы.

3) Пусть определитель имеет два равных строки.

Переставим их друг с другом. С одной стороны, определитель изменил свой знак на противоположный, а с другой стороны матрица осталась прежней, в силу равенства переставляемых строк, откуда следует, что

.

Если в поле K верно неравенство , т.е. характеристика поля не равна 2, тогда получаем:

и утверждение доказано.

Пусть в определителе равны строки с номерами i и k, , и пусть характеристика поля равна 2, т.е. , тогда  и все члены определителя имеют одинаковый знак.

Каждый член определителя содержит ровно один элемент из i-й строки, например,  и ровно один элемент из k-й строки, например, , причем, . Переставим в члене определителя

эти сомножители друг с другом:

Так как  и , то последний член определителя равен

Таким образом, получаем, что, с одной стороны, член определителя не изменится (от перестановки множителей произведение не меняется), а с другой стороны это другой член определителя, т.к. элементы из i-й и k-й строк взяты из других столбцов.

Получается, что каждый член определителя встречается в алгебраической сумме дважды. Но в поле характеристики 2 сумма двух одинаковых слагаемых равна нулю:

.

Тем самым и определитель равен нулю, ч.т.д.

4) Пусть в определителе пропорциональны столбцы с номерами j и k. Это означает, что  для некоторого скаляра . Тогда по уже доказанным свойствам

, ч.т.д.

5) Для простоты записи, допустим, что к первому столбцу определителя мы прибавили линейную комбинацию других столбцов этого же определителя. Используя доказанные свойства, получаем:

.

Теорема доказана.

Определение. Пусть дана система столбцов (строк) . Линейной комбинацией данной системы называется выражение

,

где  скаляры из поля K, которые называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует их линейная комбинация равная нулевому столбцу (нулевой строке), причем хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен 0:

.

В противном случае данная система столбцов (строк) называется линейно независимой.

Теорема. Если система столбцов (строк) определителя линейно зависимая, тогда определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть система линейно зависимая и

,

где . Пусть,  для определенности, . Тогда

,

где , . Отсюда получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Если определитель не равен нулю, то система его столбцов (строк) является линейно независимой.