Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

Пример.

Определение. Произведением матрицы  размера  на матрицу  размера  называют матрицу  размера , где элемент  является результатом произведения – й строки матрицы А на – й столбец матрицы В для всех значений индексов , , т.е.

или

.

Обозначение: .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и т.д.

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк)

Пример.

.

Определение. Квадратную матрицу – го порядка называют единичной матрицей n-го порядка и обозначают буквой Е, если для любой квадратной матрицы А – го порядка справедливо равенство: .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через .

Теорема. Множество  содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица

.

Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.

Теорема. Единичная матрица Е является единственной в множестве .

Доказательство. Пусть  еще одна единичная матрица. Тогда, по определению, . Положим , тогда . Далее, по определению,  . Положим здесь . Получаем равенство, отсюда имеем , ч.т.д.

Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что никакая другая матрица, кроме матрицы  не является единичной.

Теорема. (Свойства умножения матриц.)

Умножение матриц подчиняется следующим законам:

9) ассоциативность:

;

10) существование единичной матрицы:

:  ;

дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

11)  дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

 и

12)  умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом:  и  верно равенство:

.

Замечание. Для квадратных матриц одного порядка выполняются все 12 свойств. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебру матриц над полем К.

Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.

Пусть , . Тогда , .

Аналогичный пример можно привести для квадратных матриц любого порядка.

Последнее равенство говорит о том, что квадратные матрицы имеют делители нуля.

Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.

Доказательство. На множестве  всех квадратных матриц n-го порядка над полем K определены две операции: сложение матриц и их умножение, которые подчиняются законам 1) – 4) и 9) – 11), откуда и следует, по определению, что  является кольцом с единицей (см. лекцию 1, п.14 и п.15). Пример, приведенный перед формулировкой данного следствия, показывает, что кольцо  имеет делители нуля.

Следствие доказано.

Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица  .

Нулевую степень квадратной матрицы А – го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка: .