Определение. Произведением скаляра  на матрицу  называется матрица  тех же размеров, что и матрица А, где элементы  определяются равенством , для всех значений индексов.

Обозначение: .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр.

Пример:

,

.

Замечание. Легко видеть, что умножив матрицу на (–1) мы получаем противоположную матрицу: .

Теорема. (Свойства умножения матрицы на скаляр.)

Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам:

5) ассоциативность:  и

;

6) если 1 – единица поля K, тогда

;

7) дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:  и

;

8) Дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:  и

.

Следствие. Множество  относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр является векторным пространством над полем К.

Обозначим через  множество всех столбцов высоты n с элементами из поля K.

Следствие. Множество  является векторным пространством над полем K.

Определение. Векторное пространство  называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.