1) Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

Следующий пример является важным частным случаем примера 4.

5) Пусть  - произвольное натуральное число. Обозначим через  множество всех столбцов высоты n, т.е. множество матриц над полем K размера .

Множество  является векторным пространством над полем К и называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n над полем K.

В частности, если вместо произвольного поля К взять поле действительных чисел , то векторное пространство  называется вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.

Аналогично, векторным пространством является и множество матриц над полем K размера  или, иначе, строк длины n. Оно обозначается также через  и также называется арифметическим векторным пространством строк длины n над полем K.

Системы векторов векторного пространства.

Определение. Системой векторов векторного пространства называют любое конечное непустое множество векторов этого пространства.

Обозначение: .

Определение. Выражение

,                                     (1)

где  - скаляры поля К,  – векторы векторного пространства V, называется линейной комбинацией системы векторов . Скаляры  называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации (1) равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае – нетривиальной.

Пример. Пусть  система из трех векторов векторного пространства V. Тогда

– тривиальная линейная комбинация данной системы векторов;

– нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации .

Определение. Если какой-либо вектор  х  векторного пространства V может быть представлен в виде:

,

то говорят, что вектор х линейно выражается через векторы системы . В этом случае говорят также, что система  линейно представляет вектор х.

Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается через векторы системы и т.п.

Пример. Пусть  – система из двух столбцов арифметического вещественного векторного пространства столбцов высоты 2. Тогда столбец  линейно выражается через столбцы системы или данная система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,

.