Вещественные квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы.
Рубрика: Билинейные формы
Просмотров: 6944
Подписаться на комментарии по RSS
п.7 Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.
Пусть - матрица квадратичной формы
относительно старого базиса и нового базиса,
- матрица перехода. Тогда
, т.к. матрицы совпадают.
п.8 Канонический вид квадратичной формы. Ее приведение к каноническому виду.
Геометрический подход.
=
X – столбец координатного вектора х относительно базиса {}
А – матрица квадратичной формы в этом базисе.
Перейдем к другому базису: {}.
х – тот же вектор.
=
Х - столбец координат вектора х в новом базисе.
А - матрица квадратичной формы относительно нового базиса.
,
- матрица перехода от базиса {
}
к базису {}.
=> =
+
+…+
- канонический вид квадратичной формы.
…+
…………………………………
=
=
=
= g (
)
Определение: Квадратичная форма , если существует невырожденное линейное преобразование переменных квадратичных форм
, det C
, такое, что
где А - матрица квадратичной формы
,
- матрица квадратичной формы g.
=
и
, которые связаны соотношением
.
Теорема: Отношение эквивалентности квадратичных форм является:
рефлексивным ,
симметричным =>
,
транзитивным =>
Теорема (Лагранжа):
Каждую (любую) квадратичную форму можно привести к каноническому виду.
Алгебраическая формулировка:
В каждом классе эквивалентности квадратичной формы существует квадратичная форма канонического вида.
Алгебраическая формулировка:
Для любой квадратичной симметрической матрицы А существует невырожденная матрица С того же порядка, такая, что
п.9 Вещественные квадратичные формы.
Определение: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений переменных
причем
ó
Следствие: Если , то
Если квадратичная форма положительно определена, тогда
Пример:
Упражнение: Докажите, что если квадратичная форма положительна определена, то ее ранг равен числу переменных.
Rang Rang A.
Упражнение:
Является ли положительно определенной?
Теорема (Критерий Сильвестра):
Пусть - матрица квадратичной формы. Обозначим через
,
,…,
,
Квадратичная форма положительна определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны…,
Теорема (Якоби):
Пусть А – матрица квадратичной формы, - ее главные (угловые миноры). Если все главные миноры
, то квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
, где
,
,…,
Коэффициенты в каноническом виде квадратичной формы называются каноническими коэффициентами.
п.10 Закон инерции квадратичных форм.
Определение: Сигнатурой квадратичной формы называется упорядоченная пара чисел (r, t), r – число (количество) ненулевых канонических коэффициентов; t – число (количество) отрицательных канонических коэффициентов.
Пример:
Сигнатура квадратичной формы (sign f)=(4,2)
Теорема (закон инерции квадратичных форм):
1. Сигнатура вещественных квадратичных форм не зависит от способа ее приведения к каноническому виду.
2. Сигнатура квадратичной формы является ее инвариантом.
Оставьте комментарий!