п.7 Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

Пусть  - матрица квадратичной формы   относительно старого базиса и нового базиса,  - матрица перехода. Тогда , т.к. матрицы совпадают.

п.8 Канонический вид квадратичной формы. Ее приведение к каноническому виду.

Геометрический подход.

=   

X – столбец координатного вектора х относительно базиса {}

А – матрица квадратичной формы в этом базисе.

Перейдем к другому базису: {}.

х – тот же вектор.

=

Х - столбец координат вектора х в новом базисе.

А - матрица квадратичной формы относительно нового базиса.

, - матрица перехода от базиса {}

к базису {}.

=> = + +…+ - канонический вид квадратичной формы.

…+

…………………………………

== = = g ()

Определение: Квадратичная форма ,  если существует невырожденное линейное преобразование переменных квадратичных форм , det C , такое, что  где А - матрица квадратичной формы , - матрица квадратичной формы g.

=

и , которые связаны соотношением .

Теорема: Отношение эквивалентности квадратичных форм является:

рефлексивным ,

симметричным => ,

транзитивным  =>

Теорема (Лагранжа):

Каждую (любую) квадратичную форму можно привести к каноническому виду.

Алгебраическая формулировка:

В каждом классе эквивалентности квадратичной формы существует квадратичная форма канонического вида.

Алгебраическая формулировка:

Для любой квадратичной симметрической матрицы А существует невырожденная матрица С того же порядка, такая, что 

п.9 Вещественные квадратичные формы.

Определение: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений переменных

  причем   ó

Следствие: Если , то

Если квадратичная форма положительно  определена, тогда

Пример:

Упражнение: Докажите, что если квадратичная форма положительна определена, то ее ранг равен числу переменных.

Rang Rang A.

Упражнение:

Является ли положительно определенной?

Теорема (Критерий Сильвестра):

Пусть      -  матрица квадратичной формы. Обозначим через , ,…, ,  

Квадратичная форма положительна определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны…,

Теорема (Якоби):

Пусть А – матрица квадратичной формы,  - ее главные (угловые миноры). Если все главные миноры , то квадратичную форму можно привести к каноническому виду:

, где , ,…,

Коэффициенты в каноническом виде квадратичной формы называются каноническими коэффициентами.

п.10 Закон инерции квадратичных форм.

Определение: Сигнатурой квадратичной формы  называется упорядоченная пара чисел (r, t), r – число (количество) ненулевых канонических коэффициентов; t – число (количество) отрицательных канонических коэффициентов.

Пример: 

Сигнатура квадратичной формы (sign f)=(4,2)

Теорема (закон инерции квадратичных форм):

1.       Сигнатура вещественных квадратичных форм не зависит от способа ее приведения к каноническому виду.

2.       Сигнатура квадратичной формы является ее инвариантом.