Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов
Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы:
,
. Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:
. (5)
Обозначая искомую матрицу перехода буквой Х, получаем матричное уравнение , которое можно
решать методом Гаусса. Решая это матричное уравнение, находим матрицу перехода:
. (6)
Заметим, что столбцы являются базисом пространства столбцов, а потому линейно независимы.
Далее, будет показано, что если столбцы квадратной матрицы линейно независимы, то такая матрица является невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю, а сама матрица обратимая, т.е. имеет обратную.