Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы:  , . Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:

.                                             (5)

 Обозначая искомую матрицу перехода буквой Х, получаем матричное уравнение , которое можно

решать методом Гаусса.  Решая это матричное уравнение, находим матрицу перехода:

.                                       (6)

Заметим, что столбцы  являются базисом пространства столбцов, а потому линейно независимы.

Далее, будет показано, что если столбцы квадратной матрицы линейно независимы, то такая матрица является невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю, а сама матрица обратимая, т.е. имеет обратную.