п.1. Вычисление определителей.

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы стоящие выше или ниже главной диагонали равны нулю:

.

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали:

.

Доказательство. Любой член определителя представляет собой, по определению, произведение элементов матрицы, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца. Из первого столбца можно взять лишь элемент , т.к. остальные равны нулю. Из второго столбца можно взять лишь , т.к. из первой строки элемент уже взят, а остальные равны нулю. И т.д. мы видим, что в алгебраической сумме членов определителя, лишь один член определителя не равен нулю и

.

Теорема доказана.

Следствие. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали:

.

Один из способов вычисления определителя, заключается в том, чтобы используя его свойства привести определитель к треугольному виду. Продемонстрируем этот способ на примере.

Пример. Вычислить определитель .

Решение. По теореме о свойствах определителя определитель не изменит своего значения, если к строке (столбцу) прибавить другой столбец (другую строку), умноженный на какое-либо число. Используем это свойство.

1) Умножим первую строку на (– 2) и прибавим ко второй строке:

.

2) Умножим первую строку на 3 и прибавим к третьей:

.

3) Умножим третий столбец на 4 и прибавим ко второму:

.

Ответ: – 11.