п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Пример. Вычислить ранг матрицы  и найти базис и размерность линейной оболочки натянутой на ее столбцы.

Решение.

1-й шаг: умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй строке:

;

2-й шаг: прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–3):

;

3-й шаг: прибавим ко второй строке 3-ю, умноженную на (–1):

;

4-й шаг: умножаем вторую строку на (–3) и прибавляем к третьей строке:

.

Ранг последней матрицы равен 3, так как в первых трех столбцах стоит ненулевой минор 3-го порядка

, а миноров 4-го порядка не существует.

Приведенные преобразования не изменяют величину определителя, построенного на первых трех столбцах матрицы А, поэтому он отличен от нуля и, следовательно, его столбцы линейно независимые и образуют максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов матрицы А. Отсюда можно сделать вывод, что первые три столбца матрицы А образуют базис линейной оболочки натянутой на столбцы матрицы А, т.е.  и .

Ответ: ,  – базис линейной оболочки , .

Определение. Любой ненулевой минор матрицы А максимального порядка называют базисным минором матрицы А.

Из этого определения следует, что порядок базисного минора матрицы А равен рангу матрицы А.

Замечание. Максимальную линейно независимую подсистему системы строк матрицы, которая образует базис линейной оболочки системы строк матрицы, мы будем, для краткости, называть базисными строками матрицы. И то же самое для столбцов.

Из приведенного примера можно сделать вывод, что если, вычисляя ранг матрицы, мы не переставляем строки и столбцы матрицы, то найдя базисный минор матрицы и определив номера строк и столбцов на которых он построен, мы, тем самым, находим номера базисных строк и столбцов исходной матрицы.

Так в примере, базисный минор матрицы А построен на первых трех строках и первых трех столбцах, следовательно именно они и образуют базисы системы строк и столбцов матрицы А.